Feldbuch Zenitwinkelmessung

Nachdem hier letzte Woche das Feldbuch zur Richtungsmessung vorgestellt wurde, sollen heute die Zenitwinkel betrachtet werden. Die folgende Abbildung zeigt ein beispielhaftes Zenitwinkelfeldbuch. Gemessen wurden drei Ziele in drei Vollsätzen (zwei Lagen). Die Messwerte sind in den orange hinterlegten Zellen eingetragen.

Feldbuch Zenitwinkelmessung
Feldbuch Zenitwinkelmessung (berechnet mit Excel, Klick aufs Bild zum Vergrößern)

Reihenfolge Zenitwinkelmessung

Typische Klausuraufgabe:

In welcher Reihenfolge sollen die Messungen durchgeführt werden? Begründen Sie diese Reihenfolge.

Lösung:

  • Zentrieren, Horizontieren
  • Ziel in n Sätzen:
    • Satz 1: 1. Lage, 2. Lage
    • Satz 2: 2. Lage, 1. Lage
    • Satz 3: 1. Lage, 2. Lage
  • weitere Ziele analog

→ Eliminierung der Höhenindexabweichung

Reihenfolge von Zenitwinkelmessungen
Reihenfolge von Zenitwinkelmessungen

Berechnungen / Auswertung

Typische Klausuraufgabe:

Beschreiben Sie in Stichworten die notwendigen Schritte zur Auswertung des Zenitwinkelfeldbuches.

Lösung:

Satzmittel/Zenitwinkel: z = \frac{400gon+(I-II)}{2}

Mittel aus allen Sätzen = Summe aller Satzmittel / Anzahl der Sätze n

Indexabweichung: \rho = \frac{400gon-(I+II)}{2}*10^4 \frac{mgon}{gon}

Summe aller ρ berechnen und mitteln, d.h. \bar{\rho}=\frac{\sum \rho }{n*s}

Varianz Höhenindex: v_{\rho }=\bar{\rho}-\rho_{i}

Varianz Zenitwinkel: v_{z} = (\bar{z} - z_{i}) *10^4 \frac{mgon}{gon} (in Worten: Mittel aus allen Sätzen – Satzmittel)

Freiheitsgrad

Typische Klausuraufgabe:

Wie setzen sich die Anzahl der Freiheitsgrade allgemein bei geodätischen Aufgaben und in diesem speziellen Fall zusammen?

Lösung:

Allgemein:

f = Anzahl Beobachtungen – Anzahl Unbekannte (Parameter)

Hier:

fρ = Anzahl Messungen n – 1 Mittelwert für ρ aus allen Sätzen

fz = Anzahl Messungen n – s Mittelwerte (entspricht Anzahl Sätze)

Beispiel: 9 Messungen, 3 Sätze: fρ = 9 – 1 = 8; fz = 9 – 3 = 6

Standardabweichungen

Typische Klausuraufgabe:

Füllen Sie die fehlenden Spalten des Feldbuchs aus (Bsp. s.o.) und berechnen Sie die Standardabweichung einer Einzelmessung und die Standardabweichung eines Mittelwerts (Geben Sie die Standardabweichungen in mgon an).

Lösung:

Die Lösung wäre im Beispiel oben in allen ausgefüllten weißen und blauen Feldern.

Standardabweichung der Höhenindexabweichung: s_{\rho } = \sqrt{\frac{\sum v_{\rho}^{2}}{f_{\rho }}}

Standardabweichung Mittelwert der Höhenindexabweichung: s_{\bar{\rho}} = \frac{s_{\rho}}{\sqrt{N}} mit N = n·s

Standardabweichung Zenitwinkel: s_{z} = \sqrt{\frac{\sum v_{z}^{2}}{f_{z}}}

Standardabweichung Mittelwert Zenitwinkel: s_{\bar{z}} = \frac{s_z}{\sqrt{n_i}}

Zum Vergleich dient die Herstellerangabe.

Typische Klausuraufgabe:

Worin unterscheiden sich die Standardabweichungen für die Zenitwinkel und für die Höhenindexabweichung?

Lösung:

  1. Die Freiheitsgrade sind unterschiedlich, hier: 8 und 6
  2. Die Berechnungen für den Zenitwinkel und die Höhenindexabweichung unterscheiden sich durch ein Vorzeichen:
    • \rho = \frac{400gon-I-II}{2}
    • z = \frac{400gon+I-II}{2}
  3. Mit der Höhenindexabweichung wird eine systematische, gerätespezifische Abweichung berechnet. Die Standardabweichung für den Zenitwinkel beschreibt eine zufällige Abweichung, die erst im Messvorgang selbst auftritt.

Typische Klausuraufgabe:

Bei der Messung von Horizontalrichtungen ist es notwendig, die Messungen zu reduzieren. Warum ist dies bei der Zenitwinkelmessung nicht notwendig?

Lösung:

Bei der Zenitwinkelmessung gibt es durch die Horizontierung des Gerätes eine Nullrichtung, die Richtung zum Zenit. Alle gemessenen Richtungen, werden zu dieser ins Verhältnis gesetzt und ergeben dadurch Winkel. In der Messung von Horizontalrichtungen gibt es keine Nullrichtung. Aus diesem Grund wird eine gemessene Richtung als Nullrichtung bestimmt. Alle gemessenen Richtungen werden dann auf diese reduziert und ergeben dabei Winkel.

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