Feldbuch Zenitwinkelmessung

Nachdem hier letzte Woche das Feldbuch zur Richtungsmessung vorgestellt wurde, sollen heute die Zenitwinkel betrachtet werden. Die folgende Abbildung zeigt ein beispielhaftes Zenitwinkelfeldbuch. Gemessen wurden drei Ziele in drei Vollsätzen (zwei Lagen). Die Messwerte sind in den orange hinterlegten Zellen eingetragen.

Feldbuch Zenitwinkelmessung (berechnet mit Excel, Klick aufs Bild zum Vergrößern)
Feldbuch Zenitwinkelmessung (berechnet mit Excel, Klick aufs Bild zum Vergrößern)

Reihenfolge Zenitwinkelmessung

Typische Klausuraufgabe:

In welcher Reihenfolge sollen die Messungen durchgeführt werden? Begründen Sie diese Reihenfolge.

Lösung:

  • Zentrieren, Horizontieren
  • Ziel in n Sätzen:
    • Satz 1: 1. Lage, 2. Lage
    • Satz 2: 2. Lage, 1. Lage
    • Satz 3: 1. Lage, 2. Lage
  • weitere Ziele analog

→ Eliminierung der Höhenindexabweichung

Reihenfolge von Zenitwinkelmessungen
Reihenfolge von Zenitwinkelmessungen

Berechnungen / Auswertung

Typische Klausuraufgabe:

Beschreiben Sie in Stichworten die notwendigen Schritte zur Auswertung des Zenitwinkelfeldbuches.

Lösung:

Satzmittel/Zenitwinkel: z = \frac{400gon+(I-II)}{2}

Mittel aus allen Sätzen = Summe aller Satzmittel / Anzahl der Sätze n

Indexabweichung: \rho = \frac{400gon-(I+II)}{2}*10^4 \frac{mgon}{gon}

Summe aller ρ berechnen und mitteln, d.h. \bar{\rho}=\frac{\sum \rho }{n*s}

Varianz Höhenindex: v_{\rho }=\bar{\rho}-\rho_{i}

Varianz Zenitwinkel: v_{z} = (\bar{z} - z_{i}) *10^4 \frac{mgon}{gon} (in Worten: Mittel aus allen Sätzen – Satzmittel)

Freiheitsgrad

Typische Klausuraufgabe:

Wie setzen sich die Anzahl der Freiheitsgrade allgemein bei geodätischen Aufgaben und in diesem speziellen Fall zusammen?

Lösung:

Allgemein:

f = Anzahl Beobachtungen – Anzahl Unbekannte (Parameter)

Hier:

fρ = Anzahl Messungen N – 1 Mittelwert für ρ aus allen Sätzen

fz = Anzahl Messungen N – s Mittelwerte (entspricht Anzahl Sätze)

Beispiel: 9 Messungen, 3 Sätze: fρ = 9 – 1 = 8; fz = 9 – 3 = 6

Standardabweichungen

Typische Klausuraufgabe:

Füllen Sie die fehlenden Spalten des Feldbuchs aus (Bsp. s.o.) und berechnen Sie die Standardabweichung einer Einzelmessung und die Standardabweichung eines Mittelwerts (Geben Sie die Standardabweichungen in mgon an).

Lösung:

Die Lösung wäre im Beispiel oben in allen ausgefüllten weißen und blauen Feldern.

Standardabweichung der Höhenindexabweichung: s_{\rho } = \sqrt{\frac{\sum v_{\rho}^{2}}{f_{\rho }}}

Standardabweichung Mittelwert der Höhenindexabweichung: s_{\bar{\rho}} = \frac{s_{\rho}}{\sqrt{N}} mit N = n·s

Standardabweichung Zenitwinkel: s_{z} = \sqrt{\frac{\sum v_{z}^{2}}{f_{z}}}

Standardabweichung Mittelwert Zenitwinkel: s_{\bar{z}} = \frac{s_z}{\sqrt{n_i}}

Zum Vergleich dient die Herstellerangabe.

Typische Klausuraufgabe:

Worin unterscheiden sich die Standardabweichungen für die Zenitwinkel und für die Höhenindexabweichung?

Lösung:

  1. Die Freiheitsgrade sind unterschiedlich, hier: 8 und 6
  2. Die Berechnungen für den Zenitwinkel und die Höhenindexabweichung unterscheiden sich durch ein Vorzeichen:
    • \rho = \frac{400gon-I-II}{2}
    • z = \frac{400gon+I-II}{2}
  3. Mit der Höhenindexabweichung wird eine systematische, gerätespezifische Abweichung berechnet. Die Standardabweichung für den Zenitwinkel beschreibt eine zufällige Abweichung, die erst im Messvorgang selbst auftritt.

Typische Klausuraufgabe:

Bei der Messung von Horizontalrichtungen ist es notwendig, die Messungen zu reduzieren. Warum ist dies bei der Zenitwinkelmessung nicht notwendig?

Lösung:

Bei der Zenitwinkelmessung gibt es durch die Horizontierung des Gerätes eine Nullrichtung, die Richtung zum Zenit. Alle gemessenen Richtungen, werden zu dieser ins Verhältnis gesetzt und ergeben dadurch Winkel. In der Messung von Horizontalrichtungen gibt es keine Nullrichtung. Aus diesem Grund wird eine gemessene Richtung als Nullrichtung bestimmt. Alle gemessenen Richtungen werden dann auf diese reduziert und ergeben dabei Winkel.

6 Kommentare

    1. \rho (= griechischer Buchstabe rho, nicht p) ist die Höhenindexabweichung. Sie wird für jeden Vollsatz berechnet. i ist die laufende Nummer / der Index.

      n ist die Anzahl an Sätzen. Hier ist n = 3, weil alle Ziele in 3 Vollsätzen gemessen wurden. s ist die Anzahl an Zielen. Das ist in diesem Fall auch 3. Es wurden 3 Ziele in je 3 Sätzen gemessen. Dadurch kommen 9 Berechnungen der Höhenindexabweichung zusammen. Wenn Du jetzt den Mittelwert aus allen 9 berechneten Höhenindexabweichungen bilden möchtest, addierst Du diese alle auf (Summe über alle \rho_i) und teilst diese durch ihre Anzahl (also durch n*s = 9).

  1. Endlich habe ich verstanden wie ich aus meinen Zenitwinkelmessungen eine Standardabweichung berechnen kann ^^. Vielen Dank für den Artikel und dass du diese Website betreibst! Es ist so viel anschaulicher erklärt als in meiner Formelsammlung – oder vom Prof. :^)
    Jetzt kann ich meine Messübung zu geodätischen Netzen auswerten. Nochmals: Vielen Dank!

  2. Was versteht man nochmal „ganz praktisch“ unter Standardabweichung der Einzelmessung (1) und des Mittels (1).
    Kann man sagen, dass eine einzige Messung in einer Lage um 0,44 mgon abweicht (1), z.B. die 100,0481 gon und ein ermittelter Mittelwert z.B. die 100,0440 gon um 0,25 mgon schwankt (2)?
    Oder wie ist der Unterschied der beiden Standardabweichungen gemeint

  3. Zu drei Punkten in ca. 32 m Entfernung wurden mit einem Tachymeter in zwei Lagen Messungen
    durchgeführt.
    Welche Messungen gehören zur Lage 1, welche zur Lage 2 (Begründung!)?
    Handelt es sich um Zenitdistanz- oder Horizontalrichtungsmessungen (Begründung!)?
    Werten Sie die Messungen bis zur Berechnung des Satzmittels aus.
    Zielpunkt Lage ? Lage ?
    1 296,446 103,546
    2 298,769 101,223
    3 300,998 98,994

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