Trigonometrische Höhenübertragung

Die Trigonometrische Höhenübertragung ist eine Alternative zum geometrischen Nivellement. Ein Tachymeter wird auf einen bekannten Höhenpunkt gestellt. Ein Reflektor wird auf den zu messenden Punkt platziert. Mit dem Tachymeter werden die Schrägstrecke d, sowie der Zenitwinkel z gemessen (s. Abb.). Zudem müssen die Instrumentenhöhe i und die Tafelhöhe (Reflektor) t bestimmt werden. Dies kann z.B. mit einem Zollstock erfolgen.

Mit dem aus z und d aufgespannten rechtwinkligen Dreieck kann die Höhendifferenz Δh berechnet werden.

Die Instrumenten- und Tafelhöhe müssen im Gesamtunterschied berücksichtigt werden.

Unter der Voraussetzung, dass die Beobachtungen unkorreliert sind, lässt sich die Standardabweichung mit dem totalen Differential wie folgt bestimmen:

Die Ableitungen sind:

Die entscheidende Komponente ist hier die Ableitung nach dem Zenitwinkel, weil nur in dieser die Strecke d enthalten ist. Eine Abweichung in z hat die größte Auswirkung auf die Standardabweichung σ_HB.

Mit der Trigonometrischen Höhenübertragung werden, wie beim geometrischen Nivellement auch, geoidische Höhen gemessen. Wenn ellipsoidische Höhen ermittelt werden sollen, muss bei Strecken über 250/300m die Lotabweichung eingerechnet werden. Zudem muss ab 250/300m die Refraktion berücksichtigt werden. Dadurch verändert sich der Zenitwinkel wie folgt:

ε ist die Lotabweichung und β der Refraktionswinkel.

Der Höhenunterschied berechnet sich dann nach folgender Formel:

Literaturempfehlung:Witte/Sparla/Blankenbach (2020) Vermessungskunde für das Bauwesen mit Grundlagen des Building Information Modeling (BIM) und der Statistik

 

 

Typische Klausuraufgabe 1:

Der Höhenunterschied Δh (Δh ≈ 8m) zwischen zwei Punkten A und B soll mit einer Genauigkeit von σ_Δh = 3mm bestimmt werden. Gemessen wurden dazu die benötigten Messelemente Instrumentenhöhe i, Tafelhöhe (bzw. Prismenhöhe) t, Schrägstrecke s = 200m und Zenitwinkel z (gegeben: σ_i,t = 2mm, σ_s = 2mm).

a) Fertigen Sie eine Skizze an und geben Sie die Gleichung unter Vernachlässigung der Refraktion zur Bestimmung von Δh an.

b) Welchen Einfluss haben die Genauigkeiten von i und t auf die Genauigkeit von Δh?

c) Welchen Einfluss hat die Genauigkeit von z auf die Genauigkeit von Δh?

d) Mit welcher Genauigkeit muss der Zenitwinkel z gemessen werden, um die geforderte Genauigkeit zu erfüllen?

Lösung:

a)

b)

Die Genauigkeiten von i und t gehen direkt ohne zusätzliche Einflüsse auf die Genauigkeit von  Δh ein.

c)

Die Genauigkeit von z hat den bedeutendsten Einfluss auf σ_Δh. Je länger die Schrägstrecke s, desto größer ist der Einfluss von σ_Δh.

d) Umstellen der Formel für die Standardabweichung von σ_Δh nach σ_z bzw. σ_z².

Hier werden jetzt die Ableitungen eingesetzt (Ableitungen s.o. im Text).

Unter der Annahme i ≈ t gilt:

Jetzt werden die Werte aus der Aufgabenstellung eingesetzt. Daraus ergibt sich:

Typische Klausuraufgabe 2:

Ein Ingenieurbüro erhält von einer Tagebaufirma den Auftrag, den Höhenunterschied ∆h zwischen zwei Punkten A und B mit einer Genauigkeit von 3mm zu bestimmen. Der Ingenieur muss sich zwischen einem geometrischen Nivellement und einer trigonometrischen Höhenübertragung entscheiden. Ihm steht ein Nivellier mit einer Herstellergenauigkeit von σ_Niv = 3mm pro km Doppelnivellement sowie ein Tachymeter mit einer Streckenmessgenauigkeit von σ_s = 2mm und einer Genauigkeit der Zenitwinkelmessung von σ_z = 1mgon zur Verfügung. Der einfache Nivellementweg würde etwa 900m betragen. Der Zenitwinkel von A zu B beträgt 98.182gon und die Schrägdistanz zwischen beiden Punkten beträgt s ≈ 200m. Die Geräte- und Prismenhöhe könnte mit Hilfe einer Nivellierlatte mit einer Genauigkeit von σ_i,t = 2mm bestimmt werden.

a) Fertigen Sie unter Vernachlässigung der Refraktion eine Skizze für die trigonometrische Höhenübertragung an und geben Sie die Gleichung zur Bestimmung von ∆h an.

b) Begründen Sie, warum sich das geometrische Nivellement unter den gegebenen Umständen besser eignet, als die trigonometrische Höhenübertagung. Schätzen Sie dazu die Unsicherheit der Bestimmung des Höhenunerschiedes ∆h mittels geometrischem Nivellement und trigonometrischer Höhenübertragung ab. Vernachlässigen Sie dabei alle Korrektionen und Reduktionen.

c) Welche Genauigkeit wäre für die Zenitwinkelmessung notwendig, um über eine trigonometrische Höhenübertragung die geforderte Genauigkeit für den Höhenunterschied von 3mm zu erreichen?

Lösung:

a)

Wenn i≈t: Δh ≈ 5.7106 m

b) Trigonometrische Höhenübertragung:

Geom. Nivellement:

Das geometrische Nivellement ist genauer / hat eine niedrigere Standardabweichung.

c) Zur Umformung der Formel siehe Aufgabe 1d oben

Werte einsetzen… (genau wie oben in Aufgabe 1d)

Ergebnis: