Trigonometrische Höhenübertragung

Die Trigonometrische Höhenübertragung ist eine Alternative zum geometrischen Nivellement. Ein Tachymeter wird auf einen bekannten Höhenpunkt gestellt. Ein Reflektor wird auf den zu messenden Punkt platziert. Mit dem Tachymeter werden die Schrägstrecke d, sowie der Zenitwinkel z gemessen (s. Abb.). Zudem müssen die Instrumentenhöhe i und die Tafelhöhe (Reflektor) t bestimmt werden. Dies kann z.B. mit einem Zollstock erfolgen.

Grundprinzip der Trigonometrischen Höhenübertragung
Grundprinzip der Trigonometrischen Höhenübertragung

Mit dem aus z und d aufgespannten rechtwinkligen Dreieck kann die Höhendifferenz Δh berechnet werden.

Formel zur Bestimmung des Höhenunterschieds bei trigonometrischer Höhenübertragung
Formel zur Bestimmung des Höhenunterschieds

Die Instrumenten- und Tafelhöhe müssen im Gesamtunterschied berücksichtigt werden.

H_B+t=H_A+i+d \cdot cos(⁡z)

\Rightarrow H_B=H_A+d \cdot cos⁡(z)+i-t

Unter der Voraussetzung, dass die Beobachtungen unkorreliert sind, lässt sich die Standardabweichung mit dem totalen Differential wie folgt bestimmen:

\sigma_{H_B} = \sqrt{\left (\frac{\partial H_B}{\partial d}\cdot \sigma _d\right )^2 +\left (\frac{\partial H_B}{\partial z} \cdot \sigma_z \cdot \frac{\pi}{200gon} \right)^2+ \left (\frac{\partial H_B}{\partial i} \cdot \sigma_i \right )^2+ \left (\frac{\partial H_B}{\partial t} \cdot \sigma_t \right )^2}

Die Ableitungen sind:

\frac{\partial H_B}{\partial d}=cos(z); \frac{\partial H_B}{\partial z}=-d \cdot sin(z); \frac{\partial H_B}{\partial i}=1; \frac{\partial H_B}{\partial t}=-1

\Rightarrow \sigma_{H_B}=\sqrt{\left (cos(z) \cdot \sigma_d \right )^2+\left ( -d \cdot sin(z) \cdot \sigma_z \cdot \frac{\pi }{200gon}\right )^2+\sigma_i^2 + \sigma_t^2}

Die entscheidende Komponente ist hier die Ableitung nach dem Zenitwinkel, weil nur in dieser die Strecke d enthalten ist. Eine Abweichung in z hat die größte Auswirkung auf die Standardabweichung σHB.

Mit der Trigonometrischen Höhenübertragung werden, wie beim geometrischen Nivellement auch, geoidische Höhen gemessen. Wenn ellipsoidische Höhen ermittelt werden sollen, muss bei Strecken über 250/300m die Lotabweichung eingerechnet werden. Zudem muss ab 250/300m die Refraktion berücksichtigt werden. Dadurch verändert sich der Zenitwinkel wie folgt:

z_E = z+\epsilon +\beta

ε ist die Lotabweichung und β der Refraktionswinkel.

Der Höhenunterschied berechnet sich dann nach folgender Formel: \Delta h=d*cos⁡(z+\epsilon+\beta)+i-t

Literaturempfehlung:

Witte/Sparla (2015) Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen

 

Typische Klausuraufgabe 1:

Der Höhenunterschied Δh (Δh ≈ 8m) zwischen zwei Punkten A und B soll mit einer Genauigkeit von σΔh = 3mm bestimmt werden. Gemessen wurden dazu die benötigten Messelemente Instrumentenhöhe i, Tafelhöhe (bzw. Prismenhöhe) t, Schrägstrecke s = 200m und Zenitwinkel z (gegeben: σi,t = 2mm, σs = 2mm).

a) Fertigen Sie eine Skizze an und geben Sie die Gleichung unter Vernachlässigung der Refraktion zur Bestimmung von Δh an.

b) Welchen Einfluss haben die Genauigkeiten von i und t auf die Genauigkeit von Δh?

c) Welchen Einfluss hat die Genauigkeit von z auf die Genauigkeit von Δh?

d) Mit welcher Genauigkeit muss der Zenitwinkel z gemessen werden, um die geforderte Genauigkeit zu erfüllen?

Lösung:

a)

Skizze zu Beispielaufgabe Trigonometrische Höhenübertragung
Skizze zu Beispielaufgabe Trigonometrische Höhenübertragung

i+s\cdot cos(z)=\Delta h+t \Rightarrow \Delta h=s\cdot cos(z)+i-t

b) \sigma_{\Delta h}=\sqrt{\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial s}\cdot \sigma _s\right )^2 +\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial z} \cdot \sigma_z \cdot \frac{\pi}{200gon} \right)^2+ \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial i} \cdot \sigma_i \right )^2+ \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial t} \cdot \sigma_t \right )^2}

\frac{\partial \Delta h}{\partial i}=1; \frac{\partial \Delta h}{\partial t}=-1

Die Genauigkeiten von i und t gehen direkt ohne zusätzliche Einflüsse auf die Genauigkeit von  Δh ein.

c) \frac{\partial \Delta h}{\partial z}=-s \cdot sin(z)

Die Genauigkeit von z hat den bedeutendsten Einfluss auf σΔh. Je länger die Schrägstrecke s, desto größer ist der Einfluss von σΔh.

d) Umstellen der Formel für die Standardabweichung von σΔh nach σz bzw. σz2.

\sigma_{\Delta h}=\sqrt{\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial s}\cdot \sigma _d\right )^2 +\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial z} \cdot \sigma_z \cdot \frac{\pi}{200gon} \right)^2+ \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial i} \cdot \sigma_i \right )^2+ \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial t} \cdot \sigma_t \right )^2}

\sigma_z^2=\frac{\sigma_{\Delta h}^2-\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial s}\cdot \sigma _s\right )^2-\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial i} \cdot \sigma_i \right )^2- \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial t} \cdot \sigma_t \right )^2}{\left ( \frac{\partial \Delta h}{\partial z}\cdot \frac{\pi}{200gon}\right )^2}

Hier werden jetzt die Ableitungen eingesetzt (Ableitungen s.o. im Text).

\sigma_z^2=\frac{\sigma_{\Delta h}^2-\left (cos(z) \cdot \sigma_s \right )^2-\sigma_i^2 - \sigma_t^2}{\left (-d \cdot sin(z)\cdot \frac{\pi }{200gon}\right )^2}

Unter der Annahme i ≈ t gilt:

cos⁡(z)=\frac{8m}{200m} \Rightarrow z=acos⁡(\frac{8}{200})

Jetzt werden die Werte aus der Aufgabenstellung eingesetzt. Daraus ergibt sich:

\sigma_z^2=\frac{(3mm)^2-\left (\frac{8}{200} \right)^2\cdot 4mm^2-2 \cdot (2mm)^2}{4 \cdot 10^{10}mm^2 \cdot sin^2\left (acos \left (\frac{8}{200}\right ) \right ) \cdot \left ( \frac{\pi }{200gon}\right )^2}

\sigma_z^2=\frac{9mm^2-\left (\frac{8}{200} \right)^2 \cdot 4mm^2-8mm^2}{4 \cdot 10^{10}mm^2 \cdot sin^2\left (acos \left (\frac{8}{200}\right ) \right ) \cdot \left ( \frac{\pi }{200gon}\right )^2}

\sigma_z^2=\frac{1mm^2-\left (\frac{8}{200} \right)^2 \cdot 4mm^2}{4 \cdot 10^{10}mm^2 \cdot sin^2\left (acos \left (\frac{8}{200}\right ) \right ) \cdot \left ( \frac{\pi }{200gon}\right )^2}

\sigma_z^2=1.0083\cdot 10^{-7}gon^2 \Rightarrow \sigma_z=3,1754\cdot 10^{4}gon=0,3175mgon

Typische Klausuraufgabe 2:

Ein Ingenieurbüro erhält von einer Tagebaufirma den Auftrag, den Höhenunterschied ∆h zwischen zwei Punkten A und B mit einer Genauigkeit von 3mm zu bestimmen. Der Ingenieur muss sich zwischen einem geometrischen Nivellement und einer trigonometrischen Höhenübertragung entscheiden. Ihm steht ein Nivellier mit einer Herstellergenauigkeit von σNiv = 3mm pro km Doppelnivellement sowie ein Tachymeter mit einer Streckenmessgenauigkeit von σs = 2mm und einer Genauigkeit der Zenitwinkelmessung von σz = 1mgon zur Verfügung. Der einfache Nivellementweg würde etwa 900m betragen. Der Zenitwinkel von A zu B beträgt 98.182gon und die Schrägdistanz zwischen beiden Punkten beträgt s ≈ 200m. Die Geräte- und Prismenhöhe könnte mit Hilfe einer Nivellierlatte mit einer Genauigkeit von σi,t = 2mm bestimmt werden.

a) Fertigen Sie unter Vernachlässigung der Refraktion eine Skizze für die trigonometrische Höhenübertragung an und geben Sie die Gleichung zur Bestimmung von ∆h an.

b) Begründen Sie, warum sich das geometrische Nivellement unter den gegebenen Umständen besser eignet, als die trigonometrische Höhenübertagung. Schätzen Sie dazu die Unsicherheit der Bestimmung des Höhenunerschiedes ∆h mittels geometrischem Nivellement und trigonometrischer Höhenübertragung ab. Vernachlässigen Sie dabei alle Korrektionen und Reduktionen.

c) Welche Genauigkeit wäre für die Zenitwinkelmessung notwendig, um über eine trigonometrische Höhenübertragung die geforderte Genauigkeit für den Höhenunterschied von 3mm zu erreichen?

Lösung:

a)

Skizze zu Beispielaufgabe 2, Trigonometrische Höhenübertragung
Skizze zu Beispielaufgabe 2, Trigonometrische Höhenübertragung

i+s\cdot cos(z)=\Delta h+t \Rightarrow \Delta h=s\cdot cos(z)+i-t=200m \cdot cos⁡(98.182 gon)+i-t

Wenn i≈t: Δh ≈ 5.7106 m

b) Trigonometrische Höhenübertragung:

\sigma_{\Delta h}=\sqrt{\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial s}\cdot \sigma _s\right )^2 +\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial z} \cdot \sigma_z \cdot \frac{\pi}{200gon} \right)^2+ \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial i} \cdot \sigma_i \right )^2+ \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial t} \cdot \sigma_t \right )^2}

\frac{\partial \Delta h}{\partial i}=1; \frac{\partial \Delta h}{\partial t}=-1; \frac{\partial \Delta h}{\partial z}=-s \cdot sin(z) \cdot \frac{\pi}{200gon}; \frac{\partial \Delta h}{\partial s}=cos(z)

\sigma_{\Delta h}=\sqrt{\left (cos(98.182 gon)\cdot 2mm \right )^2 +\left (-200 \cdot 10^3mm \cdot sin⁡(98.182 gon) \cdot 10^-3gon \cdot \frac{\pi}{200gon} \right)^2+ (2mm)^2 \cdot 2}

\sigma_{Trig} = 4.227mm

Geom. Nivellement:

\sigma_{Niv}=\frac{3mm}{1000m}=\frac{2.7mm}{900m}

\sigma_{Trig}=4.227mm>2.7mm=\sigma_{Niv/900m}

Das geometrische Nivellement ist genauer / hat eine niedrigere Standardabweichung.

c) Zur Umformung der Formel siehe Aufgabe 1d oben

\sigma_z^2=\frac{\sigma_{\Delta h}^2-\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial d}\cdot \sigma _s\right )^2-\left (\frac{\partial \Delta h}{\partial i} \cdot \sigma_i \right )^2- \left (\frac{\partial \Delta h}{\partial t} \cdot \sigma_t \right )^2}{\left ( \frac{\partial \Delta h}{\partial z}\cdot \frac{\pi}{200gon}\right )^2}

\sigma_z^2=\frac{\sigma_{\Delta h}^2-\left (cos(z) \cdot \sigma_s \right )^2-\sigma_i^2 - \sigma_t^2}{\left (-s \cdot sin(z)\cdot \frac{\pi }{200gon}\right )^2}

Werte einsetzen… (genau wie oben in Aufgabe 1d)

Ergebnis:

\sigma_z = 3.179 \cdot 10^4gon=0.3179mgon

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.