Lichtbrechung und ihre Auswirkungen auf Messungen

Die Effekte der Ausbreitung des Lichts in der Atmosphäre sind die Änderung der Lichtgeschwindigkeit c und die Krümmung des Lichtstrahls. Diese führt zu einem zu gering gemessenen Zenitwinkel, sowie zu einer zu lang gemessenen Strecke.

Brechungsindex

Typische Klausuraufgabe:

Definieren Sie den Begriff Brechzahl und erläutern Sie in Stichworten, wie Sie diese für die aktuell vorherrschenden Bedingungen berechnen können.

Die Brechzahl ist eine einheitslose physikalische Kennzahl. Sie gibt an, um welchen Faktor die Wellenlänge und die Phasengeschwindigkeit des Lichts kleiner sind als im Vakuum. Die Brechzahl kann zum Beispiel für verschiedene Luftschichten, aber auch Glas, Wasser und andere Materie bestimmt werden. An der Grenze zweier Medien mit unterschiedlichen Brechzahlen, z.B. zweier Luftschichten oder Luft und Glas usw. wird Licht gebrochen. Der Lichtstrahl bildet dann einen anderen Winkel zum Lot. Das Medium mit dem höheren Brechungsindex wird als optisch dichter bezeichnet.

Die Brechzahl eines Mediums berechnet sich aus der Lichtgeschwindigkeit in dem Medium sowie der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

$n = \frac{c_{0}}{c}$

$c_{0}$ = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $\approx 3\cdot 10^8 \frac{m}{s}$

c = Lichtgeschwindigkeit im aktuellen Medium

Die Lichtgeschwindigkeit im Medium (c) ist abhängig von der Wellenlänge (λ), der Temperatur (T), dem Druck (P) und der Luftfeuchtigkeit (e). Da der Brechungsindex (n) direkt von der Lichtgeschwindigkeit im Medium (c) abhängt, wird sie ebenfalls von diesen Faktoren beeinflusst.

$c=c(\lambda,T,P,e)\Rightarrow n=n(\lambda,T,P,e)$

Berechnung der Brechzahl in den vorherrschenden Bedingungen

Barrel und Sears haben hierzu 1939 zwei Gleichungen aufgestellt.

1. Zunächst wird nach dem Cauchy-Verfahren die Brechzahl für die homogene Standardatmosphäre, die sogenannte Gruppenbrechzahl berechnet. Barrel und Sears nutzen hierzu empirisch ermittelte Daten. Zudem wird die Angabe der Wellenlänge benötigt.

$n_{Gr} = 1 + \left ( 287,604 + \frac{4,8864}{\lambda ^2}+\frac{0,068}{\lambda ^4}\right )\cdot 10^{-6}$

2. Darauf folgt die Umrechnung auf aktuelle Verhältnisse. Hier sind Daten für Lufttemperatur, Luftdruck und Dampfdruck vor Ort zu ermitteln. Diese werden in die Formel eingetragen.

$n_{L}=1+ \frac{n_{Gr}-1}{1+\alpha \cdot t}\cdot\frac{P}{1013,25}-\frac{4,1\cdot10^{-8}}{1+\alpha \cdot t}\cdot e$

$\alpha = \frac{1}{273,15}$

t … Lufttemperatur

P … Luftdruck

e … Dampfdruck

Typische Klausuraufgaben:

JA/NEIN: Der Brechungsindex ist abhängig von Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Luftdruck und der Wellenlänge
— Ja. Besonders entscheidend sind dabei die Temperatur und der Luftdruck. Bei Messungen mit GPS ist allerdings auch die Luftfeuchte ein wichtiger Faktor.

Was besagt das Brechungsgesetz nach Snellius (Stichworte)?

Formel Brechungsgesetz nach Snellius: $n_1\cdot sin(\theta_{1}) = n_2\cdot sin(\theta_{2})$

optisch dünn → optisch dicht: Lichtstrahl wird zum Lot hin gebrochen
optisch dicht → optisch dünn: Lichtstrahl wird vom Lot weg gebrochen

Typische Klausuraufgaben:

JA/NEIN: Beim Übergang von dünneren zu dickeren Medien wird der Lichtstrahl zur Normalen der Grenzfläche gebrochen.
— Ja.

JA/NEIN: Beim Übergang von dünneren zu dickeren Medien wird der Lichtstrahl parallel zur Grenzfläche gebrochen.
— Nein.

Nennen Sie die unterschiedlichen geschichteten Atmosphärenmodelle und beschreiben Sie die Unterschiede bezüglich Bodenabstand, Schichtverlauf und Temperaturgradient.

Modell	Bodenabstand	Schichtverlauf	Temperaturgradient
A: linear	B > 6m	horizontal	$\frac{dt}{dh}=C_t$
B: logarithmisch	B ≤ 6m	bodenparallel	$\frac{dt}{dh}=\frac{a_t}{B}$

Typische Klausuraufgaben:

JA/NEIN: Im logarithmischen Atmosphärenmodell verlaufen die Luftschichten bodenparallel.
– Ja.

JA/NEIN: Im linearen Atmosphärenmodell verlaufen die Luftschichten horizontal.
– Ja.

Einfluss der meteorologischen Daten auf die Brechzahl

$dn_L = \frac{ \partial n_L}{ \partial t}\cdot dt+\frac{ \partial n_L}{ \partial P}\cdot dP+\frac{\partial n_L}{ \partial e}\cdot de$

Beispielwerte für die Ableitungen:

$\frac{ \partial n_L}{ \partial t}=-0.99\cdot 10^{-6} \frac{1}{K}$

$\frac{ \partial n_L}{ \partial P}=0.28\cdot 10^{-6} \frac{1}{hPa}$

$\frac{ \partial n_L}{ \partial e}=-0.041\cdot 10^{-6} \frac{1}{hPa}\approx 0$ ⇒ hier zu vernachlässigen

Eingesetzt in die Formel oben, ergibt das:

$\Rightarrow \Delta n \cdot 10^{6}=-0.99\cdot \Delta t+0.28\cdot\Delta P-0.041\cdot \Delta e$

Es ist wichtig, einschätzen zu können, welche meteorologischen Veränderungen etwa welchen Einfluss haben. Dieser lässt sich aus den Werten der Ableitungen (-0.99 ≈ -1 und 1/4 < +0.28 < 1/3) herauslesen. Wenn die Veränderung der Temperatur Δt = ±1°C bzw. 1K ist, entspricht das einer Veränderung des Brechungsindex um ±10^-6 = 1 ppm (parts per million = ein Millionstel) = 1 mm/km bei der elektrooptischen Distanzmessung. Eine Druckänderung von ΔP = ±3 bis 4 hPa, entspricht ebenfalls einer Veränderung der Brechzahl um ±10^-6 = 1 ppm = 1 mm/km bei EDM.

Typische Klausurfragen:

JA/NEIN: Die Auswirkung von 1°C Temperaturänderung bzw. 3mbar Luftdruckänderung beträgt 1ppm
— Ja.

JA/NEIN: 1ppm entspricht 1μm pro Meter.
— Ja. Das entspricht 1mm/km.

JA/NEIN: Bei der elektrooptischen Distanzmessung wird der Brechungsindex hauptsächlich durch die Temperatur und den Luftdruck beeinflusst
— Ja.

JA/NEIN: Bei der elektrooptischen Distanzmessung wird der Brechungsindex hauptsächlich durch die Temperatur und den Wasserdampf beeinflusst
— Nein.