Kippachsabweichung

Eine Kippachsabweichung besteht, wenn die Kippachse nicht senkrecht zur Stehachse steht. Sie ist um den Winkel i vom rechten Winkel zur Stehachse verschwenkt (s. Abb.).

Einfluss der Kippachsabweichung (© Deumlich / Staiger, 2002, S. 207)

Kreis ZQC = Bewegungskreis der Zielachse ohne Kippachsabweichung
Kreis Z’PC = Bewegungskreis der Zielachse mit Kippachsabweichung
i = Winkel um den die Kippachse ggü. dem rechten Winkel verschwenkt ist
P = Angezielter Punkt
D = Ablesung am Horizontalkreis (Projektion des Punktes P)
(i) = Auswirkung der Kippachsabweichung / Fehlbetrag der Horizontalrichtungsmessung
z = gemessener Zenitwinkel

Die Auswirkung der Kippachsabweichung (i) lässt sich durch den Winkel i und den gemessenen Zenitwinkel z berechnen.

$(i) = \frac{i}{tan z}$

Je steiler die Visur, desto höher die Abweichung
Je flacher die Visur, desto geringer die Abweichung
z = 100 gon ⇒ (i) = 0 gon ⇒ kein Einfluss!
z = 0 gon ⇒ (i) = ∞ ⇒ zu fürchten!

Bestimmung:

Die Kippachsabweichung wird in steiler Visur bestimmt, damit (i) möglichst groß ist. Da die Zielachsabweichung ebenfalls einen Einfluss hat, muss diese in der Rechnung mit berücksichtigt werden.

1. Lage: $R_{Soll}^{I}=R^I+(i)+(c)$

2. Lage: $R_{Soll}^{II}=R^{II}-(i)-(c)$

$R_{Soll}^{I} = R_{Soll}^{II}-200gon$

$R^I+(i)+(c)=R^{II}-(i)-(c)-200gon$

Erster Schritt: (i) und (c) einsetzen, (i): siehe oben, (c): siehe Zielachsabweichung

$R^{I} +\frac{i}{tan z}+\frac{c}{sin z}=R^{II}-\frac{i}{tan z}-\frac{c}{sin z}-200gon$

$\Rightarrow 2*\left(\frac{i}{tan z}+\frac{c}{sin z}\right)=R^{II}-200gon-R^{I}$

$\Rightarrow i = \left(\frac{R^{II}-200gon-R^I}{2}-\frac{c}{sin z^I}\right)*tan z^I$

Elimination der Kippachsabweichung

Justierung durch Lagenschrauben, nur im Labor
Kalibrierung: i bestimmen und rechnerisch berücksichtigen
Messung in 2 Lagen

Literaturhinweis: Deumlich/Staiger (2002) Instrumentenkunde der Vermessungstechnik

Typische Klausuraufgabe:

Mit einem Tachymeter wurde zur Vorbereitung einer Präzisionsmessung am Teilchenbeschleuniger Elsa der Universität Bonn die Ziel- und die Kippachsabweichung bestimmt. Die Genauigkeit der Richtungs- und Zenitwinkelmessung beträgt nach Herstellerangabe $\sigma _{r} = \sigma _{z} = 0.3 mgon$ . Die Zielachsabweichung wurde zu $c = 1 mgon$ mit $\sigma _{c} = 0.2 mgon$ bestimmt. Folgende Werte wurden zur Bestimmung der Kippachsabweichung gemessen:

Zielpunkt Lage Horizontalrichtung Zenitwinkel

1007 1. Lage 144.8297 gon 49.5321 gon

2. Lage 344.8195 gon 350.4726 gon

a) Bestimmen Sie aus den gegebenen Messwerten die Kippachsabweichung.

b) Verwenden Sie das Varianzfortpflanzungsgesetz, um die Genauigkeit der Kippachsabweichung zu bestimmen.

Hinweis: Verwenden Sie folgende Ableitungen:

$\left(\frac{1}{\sin z}\right)' = -\frac{\cos ⁡z}{\sin^2 z}$ , $(\tan ⁡z)'=\frac{1}{\cos^2 z}$

Lösung:

a)

$i = \left(\frac{R^{II}-200gon-R^I}{2}-\frac{c}{\sin z^I}\right)*\tan z^I$

$= \left(\frac{344.8195 gon-200 gon-144.8297 gon}{2}-\frac{1*10^{-3} gon}{\sin⁡ (49.5321 gon)}\right)*\tan ⁡(49.5321 gon)$

$= -6.4295*10^{-3} gon= -6.4295 mgon$

Die Kippachsabweichung i beträgt -6.4295 mgon.

b) Varianzforpflanzung:

$\Sigma_{xx} =F*\Sigma_{ll}*F^T$

$\Sigma_{ll}=\begin{pmatrix} \sigma _{r}^{2} & 0& 0& 0\\ 0 & \sigma _{r}^{2}& 0& 0\\ 0 & 0& \sigma _{c}^{2}&0 \\ 0 & 0& 0&\sigma _{z}^{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9*10^{-8} & 0& 0 &0 \\ 0 & 9*10^{-8} & 0& 0 \\ 0 & 0 & 4*10^{-8} & 0\\ 0 & 0& 0&9*10^{-8} \end{pmatrix} [gon^2]$

$F=\begin{pmatrix} \frac{\partial i}{\partial R_{I}} & \frac{\partial i}{\partial R_{II}}& \frac{\partial i}{\partial c} & \frac{\partial i}{\partial z} \end{pmatrix}$

$\frac{\partial i}{\partial R_{I}} =-\frac{1}{2}*\tan z =-0,4927$

$\frac{\partial i}{\partial R_{II}} =\frac{1}{2}*\tan z =0,4927$

$\frac{\partial i}{\partial c} =-\frac{\tan z}{\sin z} =-1.4039$

$\frac{\partial i}{\partial z} = \left(\frac{R^{II}-200gon-R^I}{2}-\frac{c}{\sin z}\right)*\frac{1}{\cos^2 z}+\frac{c}{\sin z} = -0.0114$

$\Sigma_{xx} =F*\Sigma_{ll}*F^T=1.2254*10^{-7} gon^2$

$\sigma_i =\sqrt{\Sigma_{xx}}=3.5006*10^{-4} gon=0.3501mgon$

Die Genauigkeit der Kippachsabweichung beträgt 0.3501mgon.

Elimination der Kippachsabweichung

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